Теорема Нетер

Законы сохранения до 1918 года

К началу XX века физика располагала набором законов сохранения, добытых по отдельности и в разное время.

Сохранение импульса вытекало из механики Ньютона. Сохранение энергии оформилось к середине XIX века усилиями Майера, Джоуля и Гельмгольца, причем далось непросто: понадобилось объединить механическую работу, теплоту, электричество и химические процессы в единую величину. Сохранение момента импульса, заряда, массы считались самостоятельными эмпирическими фактами.

Связь между симметрией и сохранением подозревали. Из вариационных принципов механики, развитых Лагранжем, Гамильтоном и Якоби, следовало, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то сохраняется энергия, а если не зависит от координаты, то соответствующая компонента импульса. Эти наблюдения оставались частными и не складывались в общее утверждение.

Общая теория относительности, завершенная Эйнштейном в 1915 году, сделала вопрос острым. В ней закон сохранения энергии вел себя странно: энергию гравитационного поля не удавалось определить локально, а уравнение, которое должно было выражать сохранение, оказывалось тождеством, выполняющимся автоматически и потому не несущим содержания. Гильберт и Клейн, занимавшиеся математической стороной теории, считали это признаком того, что в новой физике сохранение устроено принципиально иначе, и не могли объяснить, почему.

Женщина в немецком университете

Амалия Эмми Нетер родилась 23 марта 1882 года в Эрлангене в еврейской семье; ее отец Макс Нетер был профессором математики того же университета.

Женщины в тогдашней Германии в университеты не принимались. В 1900 году она получила разрешение посещать занятия вольнослушательницей - с индивидуального согласия каждого преподавателя, которое давали не все. Когда Эрланген в 1904 году открыл женщинам доступ, она поступила официально и в 1907 году защитила диссертацию по теории инвариантов. Работу эту она впоследствии оценивала низко, называя нагромождением формул.

Следующие семь лет она работала при математическом институте Эрлангена без должности и без жалованья - замещала отца на лекциях, вела семинары, публиковалась.

В 1915 году ее пригласили в Геттинген Давид Гильберт и Феликс Клейн - именно для того, чтобы она разобралась с проблемой сохранения энергии в общей теории относительности. Ее компетенция в теории инвариантов была для этого идеальной.

Попытка провести хабилитацию, дававшую право преподавать, натолкнулась на сопротивление гуманитарной части факультета: считалось неприемлемым, чтобы солдаты, вернувшиеся с фронта, учились у женщины. Гильберт, по известному рассказу, ответил на это, что ученый совет - не баня и пол кандидата к делу отношения не имеет. Аргумент не подействовал: несколько лет Нетер читала курсы, объявлявшиеся под именем Гильберта. Хабилитацию она получила только в 1919 году, после революции; звание внештатного экстраординарного профессора с небольшим жалованьем - в 1922-м. Полным профессором в Германии она не стала никогда.

Первая теорема

Работа, представленная Геттингенскому научному обществу 26 июля 1918 года, содержала два утверждения. Первое стало тем, что сегодня называют теоремой Нетер.

Формулировка в общем виде такова: если действие физической системы не меняется при некотором непрерывном преобразовании, зависящем от конечного числа параметров, то существует величина, сохраняющаяся во времени; и наоборот, всякой такой сохраняющейся величине соответствует симметрия.

Непрерывная симметрия здесь означает возможность менять систему плавно, а не скачком. Примеры дают немедленный результат.

Если законы физики не меняются от того, ставим мы опыт сегодня или завтра, - то есть время однородно, - сохраняется энергия.

Если результат не зависит от того, где проводится опыт, - пространство однородно, - сохраняется импульс.

Если результат не зависит от ориентации установки - пространство изотропно, - сохраняется момент импульса.

Позднее выяснилось, что и сохранение электрического заряда имеет ту же природу: оно следует из симметрии относительно изменения фазы волновой функции заряженного поля.

Логика физики оказалась перевернутой. Раньше законы сохранения были независимыми эмпирическими фактами, которые полагалось проверять. После Нетер они стали следствиями из свойств пространства и времени, и вопрос сместился: не «сохраняется ли эта величина», а «какой симметрии она соответствует».

Практическое следствие не менее важно. Если экспериментально обнаружено, что какая-то величина сохраняется, значит, в теории есть еще не найденная симметрия. И наоборот: постулировав симметрию, можно предсказать существование сохраняющейся величины. Этот прием стал основным рабочим инструментом физики элементарных частиц.

Вторая теорема

Второе утверждение работы отвечало на исходный вопрос Гильберта и Клейна, но оставалось малоизвестным еще дольше первого.

Оно рассматривает случай, когда группа симметрий бесконечномерна - то есть преобразование задается не набором чисел, а произвольными функциями координат. Именно так устроена общая теория относительности: физика не меняется при любой гладкой замене системы координат, а таких замен бесконечно много.

Нетер показала, что в этом случае из симметрии следуют не законы сохранения в обычном смысле, а тождества между уравнениями поля. Они выполняются автоматически и не содержат физической информации о движении - и потому сохранение энергии в общей теории относительности имеет иной статус, чем в механике. Аномалия, смущавшая геттингенских математиков, оказалась не дефектом теории, а неизбежным следствием ее устройства.

Этот результат приобрел значение через несколько десятилетий, когда бесконечномерные - калибровочные - симметрии стали основой описания всех фундаментальных взаимодействий. Тождества Нетер лежат в основании квантовой теории поля.

Молчание

Работа почти не была замечена физиками.

Причин несколько. Она вышла в математическом издании и была написана на языке теории инвариантов, непривычном для физиков. Она появилась летом 1918 года, когда Германия проигрывала войну и научная коммуникация была нарушена. Автором была женщина без должности, а сама она интереса к продвижению результата не проявила и вскоре занялась другими вещами.

Физика открыла теорему Нетер заново в 1950-е и 1960-е годы, когда строились калибровочные теории, а симметрия превратилась в главный организующий принцип. К 1970-м годам ее имя стало для теоретиков обиходным, и сегодня соответствие между симметриями и законами сохранения преподается в любом курсе теоретической механики.

Алгебра

Примечательно, что сама Нетер считала главным делом жизни не физику, а алгебру, и математики согласны с ней.

В 1920-е годы она создала современную абстрактную алгебру. Вместо вычислений с конкретными объектами она предложила изучать структуры, заданные аксиомами, и переносить результаты между областями. Работа 1921 года о теории идеалов в кольцах ввела условие обрыва возрастающих цепочек, а кольца с этим свойством с тех пор называются нетеровыми. Ей принадлежат нормализация в коммутативной алгебре, вклад в теорию представлений, идеи, из которых выросла гомологическая алгебра.

Ее лекции легли в основу учебника ван дер Вардена «Современная алгебра» (1930-1931), определившего облик предмета на полвека. Вокруг нее сложилась школа - студентов и коллег, которых называли мальчиками Нетер, хотя среди них были и женщины.

В 1932 году она выступила с пленарным докладом на Международном математическом конгрессе в Цюрихе - высшее признание, доступное математику.

1933 год

7 апреля 1933 года в Германии был принят закон, требовавший удаления из государственной службы лиц еврейского происхождения. Нетер лишилась права преподавать одной из первых. Геттингенская школа, крупнейший математический центр мира, за несколько месяцев перестала существовать: уехали Вейль, Куран, десятки других.

Осенью она перебралась в США, где получила место в женском колледже Брин-Мор в Пенсильвании и читала лекции в Принстонском институте перспективных исследований.

Она умерла 14 апреля 1935 года в возрасте 53 лет, через несколько дней после операции по поводу опухоли.

Эйнштейн опубликовал в New York Times письмо, где назвал ее самым значительным творческим математическим гением из появившихся с того времени, как женщины получили доступ к высшему образованию.

Судьба ее брата Фрица сложилась не лучше: математик, эмигрировавший в Советский Союз, он был арестован в 1937 году и расстрелян в 1941-м.

Наследие

Принцип, доказанный в 1918 году, стал одной из организующих идей физики XX века.

Стандартная модель элементарных частиц построена на калибровочных симметриях, каждая из которых по теореме Нетер дает сохраняющийся ток. Открытие нарушения четности в 1956 году и нарушения комбинированной четности в 1964-м было значимым именно потому, что нарушение симметрии означает отсутствие соответствующего сохранения. Поиск новых симметрий - суперсимметрии и других - остается главным направлением теоретических исследований.

За пределами физики идея используется всюду, где есть вариационные принципы, - от теории управления до математической экономики.

Имя Нетер носят нетеровы кольца и модули, нормализация, тождества, заряды и токи, кратер на Луне.