Уравнение Шредингера (1926)

Волны материи

Путь к уравнению начался с идеи, высказанной не Шредингером. В 1924 году французский аристократ Луи де Бройль, младший брат известного физика-экспериментатора Мориса де Бройля, защитил в Париже диссертацию, где предположил, что двойственность, обнаруженная у света, свойственна и веществу. Если свет, привычно считавшийся волной, ведет себя и как поток частиц-фотонов, то электрон, считавшийся частицей, должен обладать волновыми свойствами. Де Бройль связал длину такой волны с импульсом частицы через постоянную Планка.

Идея объясняла загадочные правила квантования Бора: разрешенные орбиты электрона в атоме оказывались теми, на которых укладывается целое число длин его волны, так что волна замыкается сама на себя. Экзаменационная комиссия, не зная, как оценить столь смелую работу, отправила ее Эйнштейну. Тот отозвался положительно и в 1925 году сослался на идеи де Бройля в своих статьях о квантовой статистике газа. Экспериментально волновые свойства электронов подтвердили в 1927 году Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер в США и Джордж Паджет Томсон в Великобритании.

Но у де Бройля не было уравнения, описывающего, как волна материи распространяется и ведет себя в поле атомного ядра. Этот шаг сделал Шредингер.

Физик из Вены

Эрвин Шредингер родился в 1887 году в Вене, в состоятельной семье владельца фабрики и дочери химика. Он получил блестящее домашнее и гимназическое образование, изучал физику в Венском университете в традиции Людвига Больцмана, увлекался философией, поэзией, восточными учениями. Во время Первой мировой войны служил офицером артиллерии на итальянском фронте. С 1921 года он был профессором Цюрихского университета.

К 1925 году Шредингеру было 38 лет. Он был уважаемым, разносторонним физиком, автором работ по статистической механике, теории цвета, радиоактивности, но не считался лидером атомной теории. Среди молодых создателей квантовой механики он выглядел представителем старшего поколения - человеком, воспитанным на классической физике непрерывных процессов и не принимавшим «квантовых скачков».

Семинар Дебая

Со статьями де Бройля Шредингер познакомился через работы Эйнштейна о квантовом газе. Осенью 1925 года в Цюрихе он выступил на совместном коллоквиуме университета и Высшей технической школы с изложением идей де Бройля. По воспоминаниям физика Феликса Блоха, присутствовавшего там студентом, руководитель коллоквиума Петер Дебай заметил, что говорить о волнах без волнового уравнения - это как-то по-детски. Насколько эта реплика подтолкнула Шредингера, сказать трудно, но через несколько недель он предъявил такое уравнение.

Ароза

Рождественские каникулы 1925-1926 годов Шредингер провел на горном курорте Ароза в Швейцарских Альпах, куда уехал без жены. Его спутницей была знакомая из Вены, личность которой не установлена. Там, по его записям и письмам, он и нашел уравнение. Математик Герман Вейль, коллега и друг Шредингера по Цюриху, позже иронически говорил, что свою великую работу тот совершил во время позднего любовного порыва.

Первоначально Шредингер пытался построить релятивистское уравнение, учитывающее теорию относительности. Но, применив его к атому водорода, получил неверную тонкую структуру спектральных линий. Причина, как выяснилось позже, заключалась в том, что уравнение не учитывало спин электрона, открытый в конце 1925 года. Шредингер отложил релятивистский вариант и взял упрощенный - нерелятивистский. Релятивистское уравнение позже независимо опубликовали Оскар Клейн, Вальтер Гордон и другие, и оно известно как уравнение Клейна - Гордона.

Атом как музыкальный инструмент

Первая статья серии «Квантование как задача о собственных значениях» поступила в журнал Annalen der Physik 27 января 1926 года. В ней Шредингер применил свое уравнение к атому водорода и получил известные уровни энергии, совпадающие с формулой Бора и опытом.

Главное было в том, как это получалось. В старой квантовой теории целые квантовые числа вводились искусственно, как дополнительное правило, наложенное на классическое движение. У Шредингера они возникали сами собой. Волна, описывающая электрон в атоме, должна была удовлетворять естественным условиям - быть конечной, однозначной, затухать вдали от ядра. Такие решения существовали только при определенных значениях энергии - подобно тому как натянутая струна или воздух в органной трубе звучат только на определенных частотах. Уровни энергии атома оказывались его «собственными тонами».

Для физиков, воспитанных на классической механике сплошных сред, акустике и оптике, это была привычная и красивая математика - дифференциальные уравнения и задачи о собственных значениях, изучавшиеся в каждом университете. Помощь в решении математических задач Шредингеру оказал Вейль.

Четыре статьи

Шредингер работал с поразительной скоростью. Вторая статья поступила в журнал 23 февраля 1926 года: в ней он изложил, как пришел к уравнению, исходя из аналогии между механикой и оптикой, открытой еще в XIX веке ирландским математиком Уильямом Гамильтоном. Классическая механика относится к волновой так же, как геометрическая оптика, описывающая лучи, к волновой оптике, описывающей дифракцию и интерференцию. Там же он рассмотрел гармонический осциллятор, ротатор и двухатомную молекулу.

В марте 1926 года Шредингер опубликовал статью, в которой показал, что его волновая механика математически эквивалентна матричной механике Гейзенберга, Борна и Йордана. Независимо к тому же выводу пришли Вольфганг Паули, изложивший его в письме, и американец Карл Эккарт. Два совершенно разных на вид формализма оказывались двумя представлениями одной теории.

Третья статья (май 1926 года) развивала теорию возмущений и объясняла эффект Штарка - расщепление спектральных линий в электрическом поле. Четвертая (июнь 1926 года) содержала общее, зависящее от времени уравнение, описывающее изменение волны во времени, и применения к рассеянию света. В ней появилась мнимая единица, придававшая волновой функции комплексный характер.

В том же году Шредингер показал, что для гармонического осциллятора можно построить волновой пакет, который движется, не расплываясь, подобно классической частице, - открытие, позднее ставшее основой теории лазерного излучения.

Что говорит уравнение

Без формул смысл уравнения можно передать так. Состояние частицы описывается волновой функцией - величиной, заданной в каждой точке пространства и в каждый момент времени. Уравнение связывает то, как эта функция меняется во времени, с полной энергией частицы, которая складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии в поле сил - например, в электрическом поле ядра. Кинетическая энергия в уравнении выражается через то, насколько резко волновая функция изгибается в пространстве: чем короче волна, тем больше импульс и энергия частицы, в полном соответствии с идеей де Бройля.

Для состояний с определенной энергией уравнение упрощается и превращается в «стационарное» - задачу о стоячих волнах. Именно оно дает уровни энергии атомов и молекул. Общее, временное уравнение описывает, как состояние эволюционирует, например как электрон переходит из одного состояния в другое под действием света.

Важная особенность уравнения - его детерминированность. Если волновая функция известна в начальный момент, уравнение однозначно определяет ее в любой последующий момент, как законы Ньютона определяют движение планет. Неопределенность в квантовую механику вносит не само уравнение, а связь волновой функции с результатами измерений: волна эволюционирует строго, но предсказывает лишь вероятности того, что покажет прибор. Эта двойственность - строгая эволюция и случайный исход измерения - лежит в основе всех споров об интерпретации.

Уравнение линейно: если две волны являются его решениями, то их сумма тоже решение. Отсюда принцип суперпозиции - способность квантовой системы находиться в сочетании нескольких состояний одновременно. Он объясняет интерференцию электронов и лежит в основе современных квантовых технологий, включая квантовые компьютеры.

Облегчение и соперничество

Волновую механику встретили с энтузиазмом. Макс Планк написал Шредингеру, что читает его статьи с восхищением, как ребенок, которому рассказывают загадку. Эйнштейн, скептически относившийся к матричной механике, был уверен, что Шредингер нашел верный путь. Большинство физиков, с трудом осваивавших абстрактные матрицы, с облегчением перешли на привычный язык волн. Уже к концу 1926 года уравнение Шредингера стало главным инструментом расчетов.

Гейзенберг и Паули отнеслись к успеху соперника настороженно. Гейзенберг в письме Паули резко отозвался о физической стороне теории Шредингера, находя ее отталкивающей. Дело было не в математике, которую он признал, а в интерпретации. Шредингер утверждал, что вернул в физику наглядность: электрон - не частица, совершающая загадочные скачки, а реальная волна, распределенная в пространстве, и «квантовые скачки» - лишь переходы между собственными колебаниями, подобные смене тона.

Что такое волна

Интерпретация Шредингера быстро натолкнулась на трудности. Волновой пакет, изображающий частицу, в общем случае со временем расплывался, тогда как электроны в опытах оставались точечными. Для системы из нескольких электронов волновая функция существовала не в обычном трехмерном пространстве, а в абстрактном пространстве с числом измерений, втрое большим числа частиц. К тому же волновая функция была комплексной, а физическая величина должна выражаться действительными числами.

Решение предложил Макс Борн. В статье о столкновениях частиц, поступившей в журнал 25 июня 1926 года, он истолковал волновую функцию статистически: квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружить частицу в данном месте. Любопытно, что в основном тексте статьи Борн указал саму функцию, а поправку о квадрате внес в примечание при корректуре. Волна, согласно Борну, описывает не распределение материи, а распределение вероятностей. Такое толкование означало, что квантовая механика дает только вероятностные предсказания для отдельных событий.

Шредингер с этим толкованием так и не согласился.

Визит в Копенгаген

В октябре 1926 года Нильс Бор пригласил Шредингера в Копенгаген. Дискуссии длились несколько дней, с утра до ночи. По воспоминаниям Гейзенберга, Бор проявлял необычайную настойчивость, продолжая спорить даже у постели Шредингера, когда тот заболел. В какой-то момент Шредингер в отчаянии сказал, что если придется оставаться при этих проклятых квантовых скачках, то он жалеет, что вообще занимался квантовой теорией. Бор ответил, что остальные, напротив, очень благодарны ему за это, поскольку волновая механика так прояснила многие вопросы.

Спор не закончился соглашением, но показал, что ни одна из простых картин - ни частицы, ни волны - не описывает реальность полностью. Из этих дискуссий Бор вывел принцип дополнительности, а Гейзенберг в 1927 году - соотношение неопределенностей. Так сформировалась копенгагенская интерпретация.

Кот и запутанность

Шредингер до конца жизни оставался критиком общепринятой интерпретации. В 1935 году, отвечая на статью Эйнштейна, Подольского и Розена, он опубликовал работу, где ввел понятие квантовой запутанности, назвав ее главной особенностью квантовой механики. В той же статье появился знаменитый мысленный эксперимент с котом, помещенным в закрытый ящик вместе с радиоактивным атомом и ампулой яда. Согласно формальному описанию, до наблюдения кот находится в смешанном состоянии - одновременно «жив и мертв». Шредингер хотел показать абсурдность перенесения квантовой неопределенности на макроскопические объекты, но кот стал популярнейшим символом квантовой физики.

Жизнь после открытия

В 1927 году Шредингер сменил Макса Планка на кафедре теоретической физики Берлинского университета - одной из самых престижных в мире. В 1933 году, после прихода нацистов к власти, он покинул Германию, хотя сам не был евреем, - в знак несогласия с режимом. В том же году он разделил Нобелевскую премию по физике с Полем Дираком «за открытие новых продуктивных форм атомной теории».

Последующие годы прошли в скитаниях: Оксфорд, затем Грац в Австрии, откуда после аншлюса 1938 года ему пришлось бежать. С 1939 по 1956 год он работал в Дублинском институте высших исследований, созданном ирландским премьером Эймоном де Валерой. В Дублине он прочитал цикл лекций, изданный в 1944 году как книга «Что такое жизнь?», - в ней он предположил, что наследственная информация записана в молекуле как «апериодический кристалл». Книга вдохновила многих физиков заняться биологией, в том числе будущих открывателей структуры ДНК Фрэнсиса Крика и Джеймса Уотсона. Шредингер вернулся в Вену в 1956 году и умер там 4 января 1961 года.

Значение уравнения

Уравнение Шредингера стало основой почти всей прикладной квантовой физики. Уже в 1927 году Вальтер Гайтлер и Фриц Лондон с его помощью объяснили химическую связь в молекуле водорода, положив начало квантовой химии. В 1928 году Феликс Блох применил его к электронам в кристалле, заложив основы теории твердого тела. В том же году Георгий Гамов объяснил альфа-распад через туннельный эффект - способность частицы проходить сквозь потенциальный барьер, запрещенная классической физикой.

На уравнении Шредингера основаны расчеты строения атомов и молекул, свойств материалов, полупроводников, лазеров, химических реакций и лекарств. Современная вычислительная химия, в том числе метод функционала плотности, по существу решает это уравнение приближенными методами для сложных систем. Релятивистское обобщение для электрона с учетом спина дал в 1928 году Дирак.

Итоги

Уравнение Шредингера превратило квантовую механику из абстрактной конструкции в рабочий инструмент, доступный каждому физику и химику. Оно объяснило квантование энергии как естественное свойство волн, соединило квантовую теорию с классической математической физикой и открыло путь к объяснению строения вещества. Вместе с тем попытка самого Шредингера вернуть в физику наглядную картину непрерывных волн не удалась: волновая функция оказалась описанием вероятностей, а не реальных колебаний, и вопрос о ее природе остается открытым и столетие спустя.